решите неравенство x(x + 11)(x - 15) ≤ 0

Решим неравенство

1) Найдём нули произведения

Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю:

• $x=0$

• $x+11=0 \Rightarrow x=-11$

• $x-15=0 \Rightarrow x=15$

Критические точки: $-11,\;0,\;15$.

2) Разобьём числовую прямую на промежутки

Получаем промежутки:

1. $(-\infty,-11)$

2. $(-11,0)$

3. $(0,15)$

4. $(15,\infty)$

Чтобы понять знак выражения на каждом промежутке, достаточно взять по одной точке из каждого и определить знак множителей.

3) Определим знак на каждом промежутке

Промежуток $(-\infty,-11)$, возьмём $x=-12$:

• $x=-12$ — отрицательно

• $x+11=-1$ — отрицательно

• $x-15=-27$ — отрицательно
  Произведение: $(-)\cdot(-)\cdot(-)=(-)$.
  Значит, на $(-\infty,-11)$ выражение отрицательно, подходит (так как $\le 0$).

Промежуток $(-11,0)$, возьмём $x=-1$:

• $x=-1$ — отрицательно

• $x+11=10$ — положительно

• $x-15=-16$ — отрицательно
  Произведение: $(-)\cdot(+)\cdot(-)=(+)$.
  На $(-11,0)$ выражение положительно, не подходит.

Промежуток $(0,15)$, возьмём $x=1$:

• $x=1$ — положительно

• $x+11=12$ — положительно

• $x-15=-14$ — отрицательно
  Произведение: $(+)\cdot(+)\cdot(-)=(-)$.
  На $(0,15)$ выражение отрицательно, подходит.

Промежуток $(15,\infty)$, возьмём $x=16$:

• $x=16$ — положительно

• $x+11=27$ — положительно

• $x-15=1$ — положительно
  Произведение: $(+)\cdot(+)\cdot(+)=(+)$.
  На $(15,\infty)$ выражение положительно, не подходит.

4) Учтём точки, где произведение равно нулю

Так как неравенство $\le 0$, точки $-11$, $0$, $15$ входят в решение.

Ответ