1) Решить неравенство (1-5x)^2 >= (11+3x)^2 2) Доказать, что при любых значениях x верно неравенство -9x^2 + 24x - 16 <= 0

Разберём оба вопроса шаг за шагом.

1) Решение неравенства

Неравенство:

Шаг 1: Переносим всё в одну сторону

Заметим, что это разность квадратов, её можно разложить по формуле:

Тогда:

Шаг 2: Упрощаем скобки

• Первая скобка:

• Вторая скобка:

Получаем:

Упрощаем константы:

Делим на -20 (при делении на отрицательное число знак неравенства меняется):

Шаг 3: Решаем полученное неравенство

Неравенство вида $(x+1)(6-x) \le 0$ имеет корни $x=-1$ и $x=6$.

Проверяем знаки на промежутках:

• $x < -1$: $(x+1) < 0$, $(6-x) > 0$, произведение < 0 ✅

• $-1 < x < 6$: $(x+1) > 0$, $(6-x) > 0$, произведение > 0 ❌

• $x > 6$: $(x+1) > 0$, $(6-x) < 0$, произведение < 0 ✅

Так как неравенство $\le 0$, включаем промежутки, где произведение ≤ 0, включая нули:

Ответ для части 1:

2) Доказать, что при любых x верно неравенство

Неравенство:

На самом деле сначала уточним: оно неравенство или утверждение? Обычно пишут “при любых x верно” – значит, нужно проверить, всегда ли выражение ≤ 0.

Шаг 1: Рассмотрим квадратичную функцию

Это квадратная функция с коэффициентом при $x^2$ отрицательным, значит, парабола направлена вниз. Максимум функции находится в вершине параболы:

Шаг 2: Найдём значение функции в вершине

Считаем пошагово:

1. $\left(\frac{4}{3}\right)^2 = \frac{16}{9}$