1. Решите систему неравенств: 3 - 2x/5 > 1, x² - 4 ≥ 0. 2. При каких значениях параметра p неравенство px² + (2p - 3)x + (p + 3) > 0 верно при всех значениях x?

1. Решение системы неравенств

Неравенство 1:
$3 - \frac{2x}{5} > 1$

Для решения этого неравенства начнем с упрощения. Переносим 3 на правую сторону:

$-\frac{2x}{5} > 1 - 3$
$-\frac{2x}{5} > -2$

Теперь умножим обе стороны неравенства на -5 (так как при умножении на отрицательное число неравенство меняет знак):

$2x < 10$

Делим обе стороны на 2:

$x < 5$

Итак, первое неравенство решается условием:

$x < 5$

Неравенство 2:
$x^2 - 4 \geq 0$

Решаем это неравенство. Перепишем его как:

$x^2 \geq 4$

Решение этого неравенства:

$x \geq 2 \quad \text{или} \quad x \leq -2$

Объединение решений:

Теперь объединим решения двух неравенств. Первое неравенство дает $x < 5$, а второе — $x \geq 2$ или $x \leq -2$. Рассмотрим возможные пересечения:

1. $x < 5$ и $x \geq 2$ дают интервал $2 \leq x < 5$.

2. $x < 5$ и $x \leq -2$ дают интервал $x \leq -2$.

Таким образом, объединенное решение системы неравенств:

$x \leq -2 \quad \text{или} \quad 2 \leq x < 5$

2. Решение для параметра $p$

Необходимо найти такие значения параметра $p$, при которых неравенство:

$px^2 + (2p - 3)x + (p + 3) > 0$

будет верно при всех $x$.

Для того чтобы это неравенство выполнялось при всех значениях $x$, необходимо, чтобы квадратичная функция не имела действительных корней и была всегда положительной. Это условие выполняется, если дискриминант квадратного уравнения:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = p$, $b = 2p - 3$, $c = p + 3$, должен быть строго отрицательным. То есть:

Раскроем скобки и упростим:

Теперь решим неравенство:

Таким образом, для того чтобы неравенство выполнялось при всех $x$, параметр $p$ должен быть больше $\frac{3}{8}$.