Решите неравенство методом интервалов:а)(х+5)(6-х)≥0б)х²<196в)2 х²-9 х+4>02.При каких значениях параметра m уравнение х²+2mx+(m+2)=0 имеет корни

Рассмотрим два задания по порядку:

Задание 1: Решите неравенство методом интервалов:

а) $(x + 5)(6 - x) \geq 0$

1. Найдем нули выражения, при которых оно становится равным нулю:

   $$(x + 5)(6 - x) = 0$$

   Из этого уравнения получаем два значения для $x$:

   $$x + 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -5$$ $$6 - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 6$$

   Таким образом, $x = -5$ и $x = 6$ — это точки, которые разделяют числовую ось на интервалы: $(- \infty, -5)$, $(-5, 6)$, $(6, +\infty)$.

2. Теперь проверим знак выражения $(x + 5)(6 - x)$ на каждом из этих интервалов.

• Для интервала $(- \infty, -5)$: Пусть $x = -6$. Тогда $(x + 5)(6 - x) = (-6 + 5)(6 - (-6)) = (-1)(12) = -12$, то есть знак отрицательный.

• Для интервала $(-5, 6)$: Пусть $x = 0$. Тогда $(x + 5)(6 - x) = (0 + 5)(6 - 0) = (5)(6) = 30$, то есть знак положительный.

• Для интервала $(6, +\infty)$: Пусть $x = 7$. Тогда $(x + 5)(6 - x) = (7 + 5)(6 - 7) = (12)(-1) = -12$, то есть знак отрицательный.

3. Необходимо, чтобы выражение было больше или равно нулю:

   $$(x + 5)(6 - x) \geq 0$$

   Это условие выполняется на интервале $[-5, 6]$, включая сами точки $x = -5$ и $x = 6$.

Ответ: $[-5, 6]$

Задание 2: При каких значениях параметра $m$ уравнение $x^2 + 2mx + (m + 2) = 0$ имеет корни?

Для того чтобы уравнение имело корни, дискриминант должен быть неотрицательным. Запишем уравнение:

И определим дискриминант:

где $a = 1$, $b = 2m$ и $c = m + 2$.

Подставляем эти значения в формулу для дискриминанта:

Упростим выражение:

Для того чтобы уравнение имело хотя бы один корень, дискриминант должен быть больше или равен нулю:

Разделим обе части неравенства на 4:

Теперь решим неравенство $m^2 - m - 2 \geq 0$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $m^2 - m - 2 = 0$. Используем формулу для решения квадратного уравнения: