На дороге, по которой движется автобус, расположены 4 светофора. Зелёный свет горит в течение 59 сек., жёлтый — 6 сек., а красный — 21 сек. Случайная величина представляет собой количество светофоров, которые автобус проезжает до первой остановки. Заполните расчётную таблицу закона распределения случайной величины

Для решения этой задачи нам нужно определить закон распределения случайной величины $X$, которая обозначает количество светофоров, которые автобус проезжает до первой остановки.

1. Определим вероятности проезда каждого светофора

Пусть автобус подъезжает к каждому светофору в случайный момент времени. Тогда вероятность того, что он проедет светофор без остановки, определяется как вероятность того, что он попадёт на зелёный или жёлтый сигнал.

Общий цикл светофора:

Зелёный и жёлтый горят в сумме:

Вероятность проехать светофор без остановки:

Вероятность остановиться на красный:

2. Построим закон распределения $X$

Случайная величина $X$ принимает значения $0, 1, 2, 3, 4$, где $X = k$ означает, что автобус проехал $k$ светофоров перед первой остановкой (или до конца маршрута, если он проехал все 4).

Так как вероятность остановки на каждом светофоре одинакова, $X$ подчиняется геометрическому распределению с вероятностью успеха $q$:

Для $X = 4$ (если автобус проехал все светофоры), вероятность рассчитывается как:

3. Вычислим вероятности

Подставляем $p \approx 0.7558$ и $q \approx 0.2442$:

4. Заполним таблицу распределения

Вывод

Таким образом, вероятность того, что автобус остановится на первом светофоре, составляет 24.42%, а вероятность проехать все 4 светофора без остановки – 31.75%.