при каких значениях параметра а неравенство (х - 2а - 1) / (х - а) < 0 выполняется для всех x ∈ [1; 2]?

Рассмотрим

1. Выражение должно быть определено на всём отрезке, значит знаменатель не обращается в ноль: $a\notin[1,2]$.

2. Чтобы дробь была отрицательной для каждого $x\in[1,2]$, числитель и знаменатель на всём отрезке должны иметь противоположные знаки (и нигде не равняться нулю).

Разберём возможные варианты знаков на всём отрезке $[1,2]$.

Вариант A: $x-a>0$ и $x-(2a+1)<0$ для всех $x\in[1,2]$.

• Условие $x-a>0$ для всех $x\in[1,2]$ эквивалентно $1>a$, то есть $a<1$.

• Условие $x-(2a+1)<0$ для всех $x\in[1,2]$ эквивалентно $2<2a+1$, то есть $a>\tfrac12$.

Совместно: $\tfrac12$. При таких $a$ ноль числителя $x=2a+1$ лежит в $(2,3)$, значит не попадает в $[1,2]$, и нулей нет.

Вариант B: $x-a<0$ и $x-(2a+1)>0$ для всех $x\in[1,2]$.

• Из $x-a<0$ для всех $x\in[1,2]$ следует $2$.

• Из $x-(2a+1)>0$ для всех $x\in[1,2]$ следует $1>2a+1$, то есть $a<0$.

Противоречие, такого $a$ не существует.

Также граничные значения нужно исключить: при $a=\tfrac12$ получаем $2a+1=2$ и в точке $x=2$ числитель равен нулю (дробь $=0$, а требуется $<0$); при $a\in[1,2]$ знаменатель обращается в ноль внутри отрезка.

Итак, единственный подходящий промежуток: