1)X^2-2a(x-1)-1=0 при каких значениях a сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней? 2)

Ответы на вопрос

Отвечает Саначёв Максим.

Для начала упростим данное уравнение. Раскроем скобки:

x^2 - 2a(x - 1) - 1 = x^2 - 2a x + 2a - 1 = 0

Теперь у нас уравнение:

x^2 - 2a x + (2a - 1) = 0

Для этого уравнения коэффициенты:

Сумма корней уравнения по формуле Виета равна:

x_1 + x_2 = -\frac{B}{A} = -\frac{-2a}{1} = 2a

Сумма квадратов корней по формуле:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Сначала найдем произведение корней:

x_1 x_2 = \frac{C}{A} = \frac{2a - 1}{1} = 2a - 1

Теперь вычислим сумму квадратов корней:

x_1^2 + x_2^2 = (2a)^2 - 2(2a - 1) = 4a^2 - 2(2a - 1) = 4a^2 - 4a + 2

Нам нужно, чтобы сумма квадратов корней была равна сумме корней. То есть:

4a^2 - 4a + 2 = 2a

Упростим это уравнение:

4a^2 - 4a + 2 = 2a \quad \Rightarrow \quad 4a^2 - 6a + 2 = 0

Решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой:

a = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 2}}{2 \cdot 4} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{8} = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{8} = \frac{6 \pm 2}{8}

Получаем два значения для $a$ :

a = \frac{6 + 2}{8} = \frac{8}{8} = 1 \quad \text{или} \quad a = \frac{6 - 2}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

Итак, значения параметра $a$ , при которых сумма корней уравнения равна сумме квадратов его корней, равны $a = 1$ и $a = \frac{1}{2}$ .

Для этого уравнения также применим формулу Виета. Коэффициенты уравнения:

Ответы на вопрос