При каком значении a сумма квадратов корней уравнения x² + ax + a - 2 = 0 является наименьшей? Чему равна сумма?

Рассмотрим квадратное уравнение $x^2 + ax + a - 2 = 0$, где нужно найти значение $a$, при котором сумма квадратов корней этого уравнения будет минимальной.

Шаг 1: Найдём корни уравнения

Для того чтобы найти корни уравнения, воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения:

В нашем случае уравнение имеет вид $x^2 + ax + a - 2 = 0$, то есть $A = 1$, $B = a$, и $C = a - 2$. Подставляем в формулу для корней:

Теперь рассмотрим два случая для корней:

1. $x_1 = \frac{-a + (a - 2)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

2. $x_2 = \frac{-a - (a - 2)}{2} = \frac{-2a + 2}{2} = -a + 1$

Шаг 2: Найдём сумму квадратов корней

Теперь, зная корни уравнения, можем найти сумму квадратов корней:

Подставим значения корней:

Шаг 3: Минимизация суммы квадратов

Чтобы минимизировать сумму квадратов корней $S = a^2 - 2a + 2$, найдём её минимум, для чего найдём производную функции $S(a)$ и приравням её к нулю:

Приравняем производную к нулю:

Шаг 4: Проверка минимума

Для того чтобы удостовериться, что найденное значение $a = 1$ действительно минимизирует сумму, проверим вторую производную:

Поскольку вторая производная положительная, то функция $S(a)$ имеет минимум при $a = 1$.

Шаг 5: Вычислим минимальную сумму квадратов

Теперь подставим $a = 1$ в выражение для суммы квадратов корней: