При каких значениях a неравенство \( ax^2 + 4x + 9a < 0 \) будет верным при всех значениях \( x \)?

Рассмотрим квадратный трёхчлен

Нужно, чтобы неравенство $f(x)<0$ выполнялось при всех действительных $x$.

Для квадратичной функции есть стандартный критерий: чтобы $ax^2+bx+c<0$ для всех $x$, необходимо и достаточно, чтобы

1. парабола была направлена вниз, то есть $a<0$;

2. она не пересекала ось $x$, то есть дискриминант был отрицателен: $D<0$.

1) Условие на коэффициент $a$

Здесь старший коэффициент — $a$. Значит, нужно:

2) Условие на дискриминант

У нас $b=4$, $c=9a$. Тогда

Требуем $D<0$:

3) Совмещаем условия

Нужно одновременно $a<0$ и $|a|>\frac{2}{3}$. Это означает:

Отдельно можно заметить, что $a=0$ не подходит: тогда выражение превращается в $4x$, и оно не может быть отрицательным при всех $x$.

Ответ: