Что является расстоянием от точки до отрезка?

Расстояние от точки до отрезка — это наименьшее расстояние между данной точкой и всеми точками на отрезке. В геометрическом смысле оно определяется так: представим, что у нас есть точка $P$ и отрезок $AB$. Чтобы найти расстояние от точки $P$ до отрезка $AB$, нужно рассмотреть три ситуации:

1. Перпендикуляр опущен на отрезок:
   Если проекция точки $P$ на прямую, проходящую через точки $A$ и $B$, попадает внутрь отрезка $AB$, то расстояние от точки до отрезка равно длине перпендикуляра, проведённого из $P$ на прямую $AB$.

2. Проекция вне отрезка (ближе к $A$):
   Если перпендикуляр из точки $P$ на прямую выходит за точку $A$ (то есть проекция лежит за пределами отрезка с этой стороны), то расстояние от точки до отрезка равно расстоянию от точки $P$ до ближайшей конечной точки $A$.

3. Проекция вне отрезка (ближе к $B$):
   Аналогично, если проекция выходит за точку $B$, то расстояние равно расстоянию от точки $P$ до точки $B$.

Формула для численного расчёта через векторы выглядит так:
Если обозначить вектор от $A$ до $B$ как $\vec{AB} = B - A$, а вектор от $A$ до $P$ как $\vec{AP} = P - A$, то параметр проекции $t$ на прямую вычисляется по формуле:

• Если $0 \le t \le 1$, то расстояние равно $|\vec{AP} - t \vec{AB}|$ (перпендикуляр к отрезку).

• Если $t < 0$, расстояние равно $|\vec{AP}|$ (до точки $A$).

• Если $t > 1$, расстояние равно $|P - B|$ (до точки $B$).

То есть, кратко говоря, расстояние от точки до отрезка — это либо длина перпендикуляра к прямой отрезка (если он падает на сам отрезок), либо расстояние до ближайшей из концов отрезка.