Решите уравнения: 2sin²x - 3sinx - 2 = 0; sin2x - cosx = 0; cos7x + cosx = 0

Для решения данных уравнений будем подходить поочередно:

Уравнение 1: $2\sin^2 x - 3\sin x - 2 = 0$

1. Пусть $y = \sin x$. Тогда уравнение примет вид:

   $$2y^2 - 3y - 2 = 0$$

2. Решим квадратное уравнение относительно $y$:

   $$y = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-2)}}{2(2)}$$ $$y = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}$$

3. Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2, \quad y_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$$

4. Возвращаемся к $\sin x$:

   • Если $\sin x = 2$, то решений нет, так как значение синуса не может быть больше 1.

   • Если $\sin x = -\frac{1}{2}$, то $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Ответ: $x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi$.

Уравнение 2: $\sin 2x - \cos x = 0$

1. Используем формулу для синуса удвоенного угла: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. Подставляем в уравнение:

   $$2\sin x \cos x - \cos x = 0$$

2. Вынесем $\cos x$ за скобки:

   $$\cos x (2\sin x - 1) = 0$$

3. Теперь решим каждое из уравнений:

   • $\cos x = 0$ дает $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ — целое число.

   • $2\sin x - 1 = 0$ дает $\sin x = \frac{1}{2}$, что приводит к решениям $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$, где $k$ — целое число.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, $x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi$, или $x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi$.

Уравнение 3: $\cos 7x + \cos x = 0$

1. Используем формулу для суммы косинусов:

   $$\cos 7x + \cos x = 2\cos\left(\frac{7x + x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{7x - x}{2}\right)$$