Доказать следующее тождество
A U (B U C) = (A U B) U C;​

Докажем тождество:

Для доказательства равенства двух множеств нужно показать, что каждое из них содержит одни и те же элементы. Используем метод двойного включения.

1. Докажем, что

Пусть $x$ — произвольный элемент множества $A \cup (B \cup C)$.

По определению объединения множеств:

означает, что выполняется хотя бы одно из условий:

• $x \in A$;

• $x \in B \cup C$.

Если $x \in A$, то так как $A \subseteq A \cup B$, получаем:

а значит:

Если же $x \in B \cup C$, то возможны два случая:

• $x \in B$;

• $x \in C$.

Если $x \in B$, то:

следовательно:

Если $x \in C$, то сразу:

Таким образом, любой элемент множества $A \cup (B \cup C)$ принадлежит множеству $(A \cup B) \cup C$, то есть:

2. Докажем обратное включение:

Пусть:

Тогда по определению объединения:

• либо $x \in A \cup B$;

• либо $x \in C$.

Если $x \in A \cup B$, то:

• либо $x \in A$;

• либо $x \in B$.

Если $x \in A$, то:

Если $x \in B$, то:

следовательно:

Если же $x \in C$, то:

а значит:

Следовательно:

Мы доказали оба включения:

и

Следовательно, множества равны:

Это свойство называется ассоциативностью операции объединения множеств: при объединении нескольких множеств порядок расстановки скобок не влияет на результат.