Решите, пожалуйста, срочно: разность площадей квадратов, построенных на смежных сторонах прямоугольника, равна 20 см². Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите длину и ширину прямоугольника.

Для решения задачи будем использовать переменные для длины и ширины прямоугольника, а затем применим информацию о разности площадей квадратов и периметре.

Пусть $a$ — длина прямоугольника, а $b$ — его ширина.

1. Периметр прямоугольника:

Периметр прямоугольника равен 20 см, и он вычисляется по формуле:

Подставляем значение периметра:

Упростим:

2. Разность площадей квадратов:

Разность площадей квадратов, построенных на смежных сторонах прямоугольника, равна 20 см². Площадь квадрата с одной стороной $a$ равна $a^2$, а площадь квадрата с одной стороной $b$ равна $b^2$. Разность площадей этих квадратов:

Это можно разложить по формуле разности квадратов:

Мы уже знаем, что $a + b = 10$, подставляем это в уравнение:

Разделим обе части на 10:

3. Решаем систему уравнений:

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $a + b = 10$

2. $a - b = 2$

Сложим эти два уравнения:

Получаем:

Отсюда:

Теперь подставим $a = 6$ в уравнение 1:

Получаем:

Итак, длина прямоугольника $a = 6$ см, а ширина $b = 4$ см.