Найти наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от 2 до 12.

Искомое число — 169.

Рассуждение такое.

Число должно быть составным, но при этом не должно делиться ни на одно из чисел:

Если составное число меньше $169$, то его можно представить в виде произведения двух натуральных чисел больше 1:

где $a \le b$. Тогда меньший множитель $a$ не превосходит $\sqrt n$.

Для всех чисел меньше $169$:

Значит, у любого составного числа меньше $169$ есть делитель больше 1, но меньше 13. То есть этот делитель обязательно находится среди чисел от 2 до 12.

А по условию число не должно делиться ни на одно из чисел от 2 до 12. Значит, ни одно составное число меньше $169$ не подходит.

Теперь проверим само число:

Оно составное, потому что имеет делители $1,13,169$. При этом оно не делится ни на $2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12$.

Следовательно, наименьшее составное число, которое не делится ни на одно из натуральных чисел от 2 до 12, равно