Определите площадь боковой поверхности усечённого конуса, если его образующая составляет с плоскостью основания угол 60°, а площади оснований равны 25 и 64.

Площади оснований: \(S_1 = 25\), \(S_2 = 64\). Радиусы: \(R_1 = \sqrt{\frac{25}{\pi}} = \frac{5}{\sqrt{\pi}}\), \(R_2 = \sqrt{\frac{64}{\pi}} = \frac{8}{\sqrt{\pi}}\).

Разность радиусов: \(R_2 - R_1 = \frac{3}{\sqrt{\pi}}\).

Образующая \(l\) наклонена к плоскости основания под углом \(60^\circ\). В прямоугольном треугольнике с катетом \(R_2 - R_1\) и гипотенузой \(l\): \(\cos 60^\circ = \frac{R_2 - R_1}{l}\), откуда \(l = \frac{R_2 - R_1}{\cos 60^\circ} = \frac{3/\sqrt{\pi}}{1/2} = \frac{6}{\sqrt{\pi}}\).

Площадь боковой поверхности усечённого конуса: \(S_{\text{бок}} = \pi (R_1 + R_2) l = \pi \left(\frac{5}{\sqrt{\pi}} + \frac{8}{\sqrt{\pi}}\right) \cdot \frac{6}{\sqrt{\pi}} = \pi \cdot \frac{13}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{6}{\sqrt{\pi}} = 13 \cdot 6 = 78\).

Ответ: 78.

0 0 Пожаловаться