В магазин привезли бананы, апельсины и яблоки. Известно, что общее количество всех этих фруктов чётное: больше 60 и меньше 125. Сотрудники магазина разложили все фрукты по пяти прилавкам таким образом, что на каждом прилавке обязательно лежат фрукты всех трёх видов. Оказалось, что число апельсинов на каждом прилавке равно общему числу яблок на всех остальных прилавках, а число яблок на каждом прилавке равно общему числу бананов на всех остальных прилавках. Сколько фруктов привезли в магазин?

Разберу условия как систему по видам фруктов и прилавкам: здесь важно не подбирать раскладки вручную, а сначала вывести ограничения на общие количества.

Такого количества фруктов не существует: условия задачи противоречат друг другу.

Обозначим:

• $B$ — общее число бананов;

• $A$ — общее число яблок;

• $O$ — общее число апельсинов.

Пусть на некотором прилавке лежат:

• $b_i$ бананов;

• $a_i$ яблок;

• $o_i$ апельсинов.

По условию число яблок на каждом прилавке равно числу бананов на всех остальных прилавках. Значит,

Отсюда:

Это верно для каждого из 5 прилавков. Сложим по всем пяти прилавкам:

Значит,

Теперь используем условие про апельсины. Число апельсинов на каждом прилавке равно числу яблок на всех остальных прилавках:

Сложим по всем пяти прилавкам:

Так как $A = 4B$, получаем:

Тогда общее число фруктов равно:

То есть общее количество фруктов обязательно имеет вид:

По условию оно больше 60 и меньше 125:

Отсюда:

То есть возможны только $B = 3, 4, 5$.

Но общее количество фруктов должно быть чётным. Число $21B$ будет чётным только тогда, когда $B$ чётное. Среди чисел $3, 4, 5$ чётное только $4$.

Значит, единственный возможный вариант по чётности:

Тогда общее количество фруктов было бы:

Но проверим, возможно ли это разложить по прилавкам.

Мы уже получили:

То есть яблок всего должно быть 16.

При этом на каждом прилавке есть бананы и яблоки, а для каждого прилавка:

Так как $b_i \ge 1$, то

Значит, на каждом прилавке может быть не больше 3 яблок. На пяти прилавках максимум:

Но яблок должно быть 16. Противоречие.

Следовательно, при всех данных условиях разложить фрукты невозможно. Ответ: такого количества фруктов не существует.