У Андрея в правом кармане брюк шесть монет - две из них по 10 рублей, а четыре монеты по 2 рубля. На ощупь монеты неразличимы. Андрей достаёт из правого кармана три случайно выбранные монеты и перекладывает их в левый карман. Найдите вероятность того, что обе 10-рублевые монеты окажутся: а) в одном кармане; б) в левом кармане.

Давай разберём задачу шаг за шагом, как если бы я сам пытался решить её на сайте типа “StackExchange”.

Дано:

• В правом кармане у Андрея 6 монет:

  • две по 10 рублей (обозначим их как $A$ и $B$)

  • четыре по 2 рубля (обозначим их как $C, D, E, F$)

• Андрей случайно выбирает 3 монеты из 6 и перекладывает их в левый карман.

• Нужно найти вероятность того, что обе 10-рублёвые монеты окажутся:
  a) в одном кармане
  b) в левом кармане

Шаг 1: Вероятность, что обе 10-рублёвые монеты в одном кармане

Подход: проще всего посчитать вероятность обратного события и вычесть из 1.

• Событие $X$: обе 10-рублёвые монеты окажутся в одном кармане.

• Обратное событие $X'$: 10-рублёвые монеты окажутся в разных карманах.

Если мы выбираем 3 монеты из 6 в левый карман, то есть несколько сценариев:

1. В левый карман попали обе 10-рублёвые монеты.

2. В левый карман попала только одна 10-рублёвая монета.

3. В левый карман не попала ни одна 10-рублёвая монета.

Заметим, что в событии, когда обе 10-рублёвые монеты в одном кармане, это может быть:

• обе в левом кармане (правый содержит только 2-рублевые)

• обе остались в правом кармане (левый содержит только одну или три 2-рублевые)

Иначе говоря, событие “10-рублёвые монеты в одном кармане” происходит всегда, кроме случая, когда в левый карман попала ровно одна 10-рублёвая монета, а другая осталась в правом кармане.

Шаг 2: Считаем вероятность, что 10-рублёвые монеты окажутся в разных карманах

• Всего способов выбрать 3 монеты из 6:

• Сколько способов выбрать ровно одну 10-рублёвую монету и 2 из четырёх 2-рублёвых?

Это как раз случай, когда 10-рублёвые монеты окажутся в разных карманах.

Следовательно, вероятность обратного события:

А значит, вероятность, что обе 10-рублёвые монеты окажутся в одном кармане:

✅ Ответ для пункта (а): 0.4

Шаг 3: Вероятность, что обе 10-рублёвые монеты в левом кармане

Теперь мы хотим, чтобы обе 10-рублёвые монеты попали в левый карман.

• Сколько способов выбрать 3 монеты так, чтобы обе 10-рублёвые были в числе выбранных?

  • Мы должны выбрать 2 из 2-рублевых, чтобы дополнить 2 десяти-рублёвые:

• Всего способов выбрать 3 монеты из 6: 20 (как считали выше)

Следовательно, вероятность:

✅ Ответ для пункта (б): 0.2

Итог:

• а) Вероятность, что обе 10-рублёвые монеты окажутся в одном кармане: 0.4

• б) Вероятность, что обе 10-рублёвые монеты окажутся в левом кармане: 0.2