При увеличении радиуса шара площадь его поверхности увеличилась в 3 раза. Во сколько раз увеличился его объём?

Давай разберём задачу шаг за шагом.

1. Пусть радиус исходного шара равен $R$.

   • Площадь поверхности шара вычисляется по формуле:

     $$S = 4 \pi R^2$$

   • Объём шара вычисляется по формуле:

     $$V = \frac{4}{3} \pi R^3$$

2. Пусть радиус увеличился до $r$, и площадь поверхности увеличилась в 3 раза:

   $$4 \pi r^2 = 3 \cdot 4 \pi R^2$$

   Можно сократить $4 \pi$:

   $$r^2 = 3 R^2$$

   Значит:

   $$r = R \sqrt{3}$$

3. Найдём во сколько раз увеличился объём:
   Новый объём:

   $$V_{\text{new}} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (R \sqrt{3})^3$$

   Возведём $\sqrt{3}$ в куб:

   $$(\sqrt{3})^3 = 3 \sqrt{3}$$

   Значит:

   $$V_{\text{new}} = \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot 3 \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} \cdot V$$

✅ Вывод: объём увеличился в $3\sqrt{3}$ раза, примерно в 5,196 раза.