Даны точки А(1;1), В(2;3), С(0;4), D(-1;2). Покажите, что четырёхугольник ABCD является квадратом.

Чтобы показать, что четырёхугольник ABCD с вершинами A(1,1), B(2,3), C(0,4) и D(-1,2) является квадратом, нужно проверить два основных свойства квадрата:

1. Все стороны равны.

2. Все углы прямые (то есть смежные стороны перпендикулярны).

Проверим это шаг за шагом.

1. Длины сторон

Длина отрезка между точками $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ вычисляется по формуле:

Стороны квадрата:

• $AB = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

• $BC = \sqrt{(0-2)^2 + (4-3)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$

• $CD = \sqrt{(-1-0)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$

• $DA = \sqrt{(1-(-1))^2 + (1-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$

✅ Все стороны равны $\sqrt{5}$.

2. Проверка прямых углов

Скалярное произведение двух векторов $\vec{u} = (x_1, y_1)$ и $\vec{v} = (x_2, y_2)$ равно:

Если скалярное произведение равно 0, векторы перпендикулярны.