cos2x+sin2x+2cos^2x=0
Решите уравнение

Будем понимать запись как уравнение \( \cos 2x + \sin 2x + 2\cos^2 x = 0 \).

Используем формулу:

\[ 2\cos^2 x = 1 + \cos 2x \]

Тогда:

\[ \cos 2x + \sin 2x + 1 + \cos 2x = 0 \]

\[ 2\cos 2x + \sin 2x + 1 = 0 \]

Пусть \( t = \tan x \). Тогда:

\[ \sin 2x = \frac{2t}{1+t^2}, \quad \cos 2x = \frac{1-t^2}{1+t^2} \]

Подставим:

\[ 2\cdot \frac{1-t^2}{1+t^2} + \frac{2t}{1+t^2} + 1 = 0 \]

\[ \frac{2-2t^2+2t+1+t^2}{1+t^2}=0 \]

\[ -t^2+2t+3=0 \]

\[ t^2-2t-3=0 \]

\[ (t-3)(t+1)=0 \]

Значит:

\[ t=3 \quad \text{или} \quad t=-1 \]

Так как \( t = \tan x \), получаем ответ:

\[ x = \arctan 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

или

\[ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

0 0 Пожаловаться