Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения: y' - xy = 2x^3

Дано уравнение:

\[ y' - xy = 2x^3 \]

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Ищем частное решение.

Интегрирующий множитель:

\[ \mu(x)=e^{\int -x\,dx}=e^{-\frac{x^2}{2}} \]

Умножим уравнение на него:

\[ e^{-\frac{x^2}{2}}y' - xe^{-\frac{x^2}{2}}y = 2x^3e^{-\frac{x^2}{2}} \]

Левая часть превращается в производную:

\[ \left(ye^{-\frac{x^2}{2}}\right)' = 2x^3e^{-\frac{x^2}{2}} \]

Интегрируем:

\[ ye^{-\frac{x^2}{2}} = \int 2x^3e^{-\frac{x^2}{2}}dx \]

Получаем:

\[ ye^{-\frac{x^2}{2}} = -2(x^2+2)e^{-\frac{x^2}{2}} + C \]

Тогда общее решение:

\[ y = Ce^{\frac{x^2}{2}} - 2x^2 - 4 \]

Частное решение можно взять при \( C=0 \):

\[ y = -2x^2 - 4 \]

Ответ: \( y = -2x^2 - 4 \).

0 0 Пожаловаться