Постройте взаимно однозначное отображение полуинтервала [0;1) на замкнутый луч [0;+∞). С объяснением.

Взаимно однозначное отображение (биекцию) можно задать формулой:

Проверим:

• При \( x = 0 \) получаем \( f(0) = 0 \).
• Функция строго возрастает на \([0;1)\), так как производная \( f'(x) = \frac{1}{(1-x)^2} > 0 \).
• Когда \( x \to 1^- \), знаменатель стремится к нулю, и \( f(x) \to +\infty \).
• Таким образом, каждому \( x \in [0;1) \) соответствует единственное \( y \in [0;+\infty) \), и наоборот: для любого \( y \ge 0 \) можно найти \( x = \frac{y}{1+y} \), который лежит в \([0;1)\).

Значит, \( f \) — биекция.

0 0 Пожаловаться