Докажите, что CK=LM.

7 класс

(Дан прямоугольный треугольник ABC с катетами AB и BC и гипотенузой AC. На сторонах треугольника во внешнюю сторону строятся квадраты, и пусть K, L, M – точки пересечения диагоналей (центры) квадратов со сторонами AB, BC, AC, соответственно. Докажите, что CK=LM.)

Расположим треугольник в системе координат: пусть вершина прямого угла B находится в начале координат (0,0), катет AB лежит на оси x, а катет BC — на оси y. Обозначим длины катетов: AB = a, BC = b. Тогда координаты вершин: A(a, 0), B(0, 0), C(0, b).

Квадраты построены во внешнюю сторону. Найдём координаты их центров.

• Квадрат на катете AB (сторона от (0,0) до (a,0)) строится вниз от оси x. Его центр K — середина диагоналей: \(K\left(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}\right)\).
• Квадрат на катете BC (сторона от (0,0) до (0,b)) строится влево от оси y. Его центр L: \(L\left(-\frac{b}{2}, \frac{b}{2}\right)\).
• Квадрат на гипотенузе AC. Вектор \(\overrightarrow{AC} = (-a, b)\). Внешняя нормаль к AC, направленная от треугольника, имеет координаты \((b, a)\). Тогда вершины квадрата: A(a,0), C(0,b), \(C+(b,a) = (b, a+b)\), \(A+(b,a) = (a+b, a)\). Центр M — середина диагонали, например, между A и \(C+(b,a)\): \(M\left(\frac{a+b}{2}, \frac{a+b}{2}\right)\).

Теперь найдём длины отрезков CK и LM.

\(CK^2 = \left(\frac{a}{2} - 0\right)^2 + \left(-\frac{a}{2} - b\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \left(\frac{a}{2} + b\right)^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + ab + b^2 = \frac{a^2}{2} + ab + b^2.\)

\(LM^2 = \left(\frac{a+b}{2} - \left(-\frac{b}{2}\right)\right)^2 + \left(\frac{a+b}{2} - \frac{b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a+2b}{2}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2 + 4ab + 4b^2}{4} = \frac{a^2}{2} + ab + b^2.\)

Получили \(CK^2 = LM^2\), следовательно, \(CK = LM\). Что и требовалось доказать.

0 0 Пожаловаться