Из дома вышел спокойным шагом Август и шёл по прямой дороге с постоянной скоростью. Когда он прошёл 6 км, из дома после Августа, учуяв его, выбежала его собака Рексас и бежала со скоростью на 9 км/ч больше скорости, чем шёл её хозяин Август. Когда Рексас догнал Августа, они повернулись и друзья вернулись домой с постоянной скоростью 4 км/ч. С какой постоянной скоростью (км/ч) должен идти Август, чтобы дорога заняла наименьшее время?

Обозначим скорость Августа \(v\) км/ч. Он прошёл 6 км за время \(t_1 = \frac{6}{v}\) ч. Затем стартует Рексас со скоростью \(v+9\) км/ч. Расстояние между ними 6 км, скорость сближения \(9\) км/ч, поэтому время до встречи \(t_2 = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\) ч. За это время Август пройдёт ещё \(v \cdot \frac{2}{3}\) км, и расстояние от дома станет \(6 + \frac{2}{3}v\) км. Обратно они идут со скоростью 4 км/ч, время возврата \(t_3 = \frac{6 + \frac{2}{3}v}{4}\) ч.

Общее время: \(T(v) = \frac{6}{v} + \frac{2}{3} + \frac{6 + \frac{2}{3}v}{4} = \frac{6}{v} + \frac{v}{6} + \frac{13}{6}\).

Минимум найдём через производную: \(T'(v) = -\frac{6}{v^2} + \frac{1}{6} = 0\), откуда \(v^2 = 36\) и \(v = 6\) км/ч (положительный корень). Вторая производная положительна, значит, это минимум.

Ответ: 6 км/ч.

0 0 Пожаловаться