Среди участников шахматного турнира юношей было в 7 раз больше, чем девушек, и они вместе набрали в 3 раза больше очков, чем все девушки. Сколько девушек участвовали в турнире? (Турнир проводился по круговой системе: каждый играл с каждым по две партии — одну белыми, а другую чёрными; за выигрыш партии участник получал одно очко, за ничью — 1/2 очка, за проигрыш — 0.)

Пусть девушек было $x$ человек. Тогда юношей было $7x$ человек.

Всего участников:

В турнире каждый играл с каждым по две партии. В каждой партии за счет ничьих или победы всего разыгрывалось ровно 1 очко. Значит, в двух партиях между любой парой участников разыгрывается 2 очка.

Количество очков, набранных всеми участниками вместе:

Пусть девушки набрали $G$ очков, тогда юноши набрали $3G$ очков. Значит:

Теперь посчитаем, сколько очков девушки могли получить.

Между самими девушками было:

пар, и каждая пара сыграла 2 партии, поэтому в таких играх всего разыгрывалось:

очков.

Остальные очки девушки могли получить только в играх с юношами. Таких игр:

пар участников, каждая пара играла две партии, значит всего разыгрывалось:

очков.

Обозначим количество очков, набранных девушками в играх с юношами, через $a$. Тогда:

Подставляем найденное значение $G$:

Но в играх девушек с юношами всего было разыграно $14x^2$ очков, поэтому девушки не могли набрать больше этого количества:

Так как число девушек положительное, получаем:

Проверка: одна девушка играла с семью юношами по две партии, всего 14 партий. Чтобы юноши набрали в 3 раза больше очков, девушка должна была набрать 14 очков, а юноши — 42 очка. Всего 56 очков, что совпадает с количеством всех партий (8 участников → 56 партий).

Ответ: в турнире участвовала 1 девушка.