Найдите наименьшее из натуральных чисел, разложение на простые множители которого имеет вид 3^m × 5^n (m, n ∈ N), а число делителей равно 6.

Число имеет вид \( 3^m \times 5^n \), где \( m,n \in N \), то есть \( m \) и \( n \) — натуральные числа.

Если число разложено как \( 3^m \times 5^n \), то количество его делителей равно:

\[ (m+1)(n+1) \]

По условию делителей 6:

\[ (m+1)(n+1)=6 \]

Так как \( m \) и \( n \) натуральные, возможны варианты:

\[ m+1=2,\ n+1=3 \]

Тогда \( m=1,\ n=2 \), число:

\[ 3^1 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75 \]

Или:

\[ m+1=3,\ n+1=2 \]

Тогда \( m=2,\ n=1 \), число:

\[ 3^2 \times 5^1 = 9 \times 5 = 45 \]

Наименьшее число — 45.

0 0 Пожаловаться