Найти первую и вторую производную функций, заданных параметрически: x = cos t, y = tg²t.

Даны параметрические уравнения: \( x = \cos t \), \( y = \tan^2 t \).

Первая производная \( y'_x \) находится по формуле:

\[ y'_x = \frac{dy/dt}{dx/dt} \]

Находим производные по \( t \):

\( \frac{dx}{dt} = -\sin t \)

\( \frac{dy}{dt} = 2\tan t \cdot \sec^2 t \) (производная \( \tan^2 t \) как сложной функции)

Тогда:

\[ y'_x = \frac{2\tan t \sec^2 t}{-\sin t} = -\frac{2\tan t \sec^2 t}{\sin t} \]

Упростим: \( \tan t = \frac{\sin t}{\cos t} \), \( \sec^2 t = \frac{1}{\cos^2 t} \). Подставляем:

\[ y'_x = -\frac{2 \cdot \frac{\sin t}{\cos t} \cdot \frac{1}{\cos^2 t}}{\sin t} = -\frac{2}{\cos^3 t} = -2\sec^3 t \]

Итак, \( y'_x = -2\sec^3 t \).

Вторая производная \( y''_{xx} \) вычисляется по формуле:

\[ y''_{xx} = \frac{d(y'_x)/dt}{dx/dt} \]

Сначала найдём производную от \( y'_x = -2\sec^3 t \) по \( t \):

\( \frac{d}{dt}(-2\sec^3 t) = -2 \cdot 3\sec^2 t \cdot \sec t \tan t = -6\sec^3 t \tan t \)

Теперь делим на \( dx/dt = -\sin t \):

\[ y''_{xx} = \frac{-6\sec^3 t \tan t}{-\sin t} = \frac{6\sec^3 t \tan t}{\sin t} \]

Упростим: \( \frac{\tan t}{\sin t} = \frac{\sin t / \cos t}{\sin t} = \frac{1}{\cos t} = \sec t \). Тогда:

\[ y''_{xx} = 6\sec^3 t \cdot \sec t = 6\sec^4 t \]

Ответ: \( y'_x = -2\sec^3 t \), \( y''_{xx} = 6\sec^4 t \).

0 0 Пожаловаться