Точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, все углы которого измеряются целым числом градусов. Точка X внутри треугольника такова, что CX ⊥ AB и ∠ABX : ∠XBC = 3 : 5. Оказалось, что точки B, O, X, C лежат на одной окружности. Какое наибольшее значение может принимать величина угла ∠A? (Напомним, что остроугольным называется треугольник, каждый угол которого строго меньше 90°.)

Обозначим углы треугольника: \(\angle A=\alpha\), \(\angle B=\beta\), \(\angle C=\gamma\).

По условию \(\angle ABX:\angle XBC=3:5\). Пусть \(\angle ABX=3t\), \(\angle XBC=5t\), тогда \(\beta=8t\).

Так как \(CX\perp AB\), получаем \(\angle BXC=90^\circ+3t\).

Точки \(B,O,X,C\) лежат на одной окружности, а \(O\) — центр описанной окружности треугольника \(ABC\). Поэтому \(\angle BOC=2\alpha\), и при этом \(\angle BOC=\angle BXC\). Значит,

\[2\alpha=90^\circ+3t.\]

Так как \(t=\frac{\beta}{8}\), имеем:

\[2\alpha=90^\circ+\frac{3\beta}{8},\]

\[16\alpha=720+3\beta,\]

\[\beta=\frac{16\alpha-720}{3}.\]

Треугольник остроугольный, значит \(\beta

0 0 Пожаловаться