Ясмин сделала 36 различных фотографий льва в зоопарке. Она хочет приклеить эти фотографии в виде модели прямоугольника, состоящего из строк и столбиков. Сколькими способами она может это сделать?

Давай разберём задачу шаг за шагом.

У нас есть 36 различных фотографий, и Ясмин хочет выложить их в виде прямоугольника, то есть в некотором количестве строк и столбцов. Чтобы прямоугольник был правильным, количество строк $r$ и столбцов $c$ должно удовлетворять условию:

То есть нам нужно найти все пары положительных чисел, произведение которых равно 36.

Факторы числа 36:

Таким образом, возможные размеры прямоугольника:

1. 1 ряд × 36 столбцов

2. 2 ряда × 18 столбцов

3. 3 ряда × 12 столбцов

4. 4 ряда × 9 столбцов

5. 6 рядов × 6 столбцов

6. 9 рядов × 4 столбца (это уже перевернутый 4×9, но так как фотографии разные, порядок важен, поэтому учитываем)

7. 12 рядов × 3 столбца

8. 18 рядов × 2 столбца

9. 36 рядов × 1 столбец

Всего есть 9 способов выбрать форму прямоугольника.

Но нужно учесть, что фотографии различны, и их можно расставлять в каждой форме по всем перестановкам. Для любого прямоугольника с 36 фото количество способов расположить фотографии:

Поскольку порядок каждой фотографии важен, он не зависит от формы прямоугольника — просто в каждом случае перестановки одинаковы.

Таким образом, общее количество способов Ясмин приклеить фотографии — 9 форм × 36! перестановок.

✅ Ответ:

Это число учитывает все возможные прямоугольники и все возможные расстановки разных фотографий внутри них.