Неопределённый интегралы
dx/sqrt((1-x^2)*arcsin(x)*dx
(x^2+1)*3^x*dx
(x+3)/(x^2-2x+2)*dx

Давай разберём каждый из трёх интегралов по очереди. Постараюсь объяснить подробно, что и как делается.

1. $\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

Это классический интеграл. Сразу можно вспомнить стандартную формулу:

Пояснение:

• Подынтегральная функция — это производная функции arcsin.

• Формула $\frac{d}{dx} \arcsin(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ даёт прямое решение.

Ответ:

2. $\displaystyle \int (x^2+1)\cdot 3^x \, dx$

Здесь под интегралом произведение многочлена $x^2+1$ и экспоненты с основанием 3.

Подход: метод интегрирования по частям или формула для интеграла вида $\int P(x) a^x dx$, где $P(x)$ — многочлен.

Общая формула:

Для $P(x) = x^2 + 1$ и $a = 3$:

1. $P(x) = x^2 + 1$

2. $P'(x) = 2x$

3. $P''(x) = 2$

Тогда:

Ответ:

3. $\displaystyle \int \frac{x+3}{x^2 - 2x + 2} dx$

Для рациональной функции с квадратным знаменателем удобно разложить числитель в виде производной знаменателя плюс остаток:

• Знаменатель: $x^2 - 2x + 2$

• Производная: $\frac{d}{dx}(x^2-2x+2) = 2x-2$

Попробуем написать $x+3 = \frac{1}{2}(2x-2) + 4$:

Тогда интеграл разбивается на два: