Диагонали трапеции перпендикулярны друг другу и равны соответственно 15 и 20. Найдите среднюю линию трапеции и её высоту.

Пусть диагонали трапеции равны $15$ и $20$ и пересекаются под прямым углом.

Сначала найдём площадь трапеции через диагонали. Если диагонали четырёхугольника перпендикулярны, то его площадь равна половине произведения диагоналей:

С другой стороны, площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:

где $m$ — средняя линия, $h$ — высота.

Теперь найдём среднюю линию. Для трапеции с перпендикулярными диагоналями сумма оснований равна гипотенузе прямоугольного треугольника, построенного на диагоналях:

Вычисляем:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований:

Теперь найдём высоту из формулы площади:

Отсюда

Ответ: средняя линия трапеции равна $12{,}5$, высота равна $12$.