Сколько существует четырёхзначных натуральных чисел, каждое из которых кратно шести, содержит в своей десятичной записи ровно две различные цифры и не содержит трёх одинаковых цифр?

Рассмотрим условия задачи по порядку.

1. Структура числа

Число четырёхзначное и содержит ровно две различные цифры, причём запрещено, чтобы какая-то цифра встречалась 3 раза.
Значит возможен только один вариант распределения цифр по позициям:

• $2$ и $2$ (две одинаковые цифры и две одинаковые другой цифры)

То есть число имеет вид: $a,a,b,b$, где $a \ne b$.

2. Условие кратности 6

Число кратно 6 ⇒ кратно 2 и 3.

Кратность 3:

Сумма цифр:

Должна делиться на 3 ⇒ $a+b$ делится на 3.

Кратность 2:

Последняя цифра должна быть чётной ⇒ хотя бы одна из цифр $a,b$ — чётная.

3. Перебор пар цифр

Рассмотрим пары цифр $a,b$, удовлетворяющие:

• $a \ne b$

• $a+b \equiv 0 \pmod{3}$

Разбиение по остаткам mod 3:

• 0: {0,3,6,9}

• 1: {1,4,7}

• 2: {2,5,8}

Подходящие пары:

• из {0,3,6,9}: 6 пар

• между (1,2): 9 пар
  Итого: 15 пар

Далее учитываем чётность (иначе число не будет чётным).

4. Подсчёт для каждой пары

Для каждой пары считаем количество перестановок числа вида $a,a,b,b$, которых всего 6, с условиями:

• последняя цифра чётная

• первая цифра не 0

После аккуратного перебора всех случаев получается:

• пары с обеими цифрами из {0,3,6,9}: дают в сумме 13 вариантов

• пары (mod1, mod2): дают в сумме 27 вариантов

5. Итог

Суммарное количество подходящих чисел:

Ответ:

40