Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен ей.

Пусть дана окружность с центром $O$, а $AB$ — её хорда. Диаметр, проходящий через середину хорды, пересекает её в точке $M$, то есть $M$ — середина хорды $AB$. Нужно доказать, что этот диаметр перпендикулярен хорде $AB$.

Так как $OA$ и $OB$ — радиусы одной и той же окружности, то:

По условию $M$ — середина хорды, поэтому:

Рассмотрим два треугольника $\triangle OMA$ и $\triangle OMB$.

У них:

• $OA = OB$ (радиусы окружности);

• $AM = MB$ (так как $M$ — середина хорды);

• $OM$ — общая сторона.

Следовательно,

по трём сторонам.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

Но точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой, поэтому углы $\angle OMA$ и $\angle OMB$ являются смежными, а сумма смежных углов равна $180^\circ$:

Так как эти углы равны, каждый из них равен:

Значит,

Следовательно, $OM$ перпендикулярен $AB$:

Так как $OM$ является частью диаметра окружности, то доказано, что диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен этой хорде. $\blacksquare$