Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более трёх одиннадцатых от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более трёх седьмых от общего числа учащихся группы, посетивших кино. а) Могло ли быть в этой группе 10 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 20 учащихся? в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б?

Обозначим через $T$ число учащихся, посетивших театр, а через $K$ — число учащихся, посетивших кино. Число мальчиков среди посетивших театр обозначим $M_T$, а среди посетивших кино — $M_K$.

По условию

При этом $\frac{3}{11}<\frac{3}{7}$, поэтому даже в более «выгодной» для мальчиков группе — среди посетивших кино — их доля не может превышать $\frac{3}{7}$.

а) Могло ли быть 10 мальчиков среди 20 учащихся?

Если всего 20 учащихся и 10 из них мальчики, то доля мальчиков во всей группе равна

Но в театре доля мальчиков не более $\frac{3}{11}$, а в кино — не более $\frac{3}{7}$. Следовательно, и во всей группе доля мальчиков не может быть больше большего из этих двух чисел, то есть

А

Значит, 10 мальчиков быть не могло.

Ответ: а) нет.

б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть среди 20 учащихся?

Поскольку доля мальчиков во всей группе не превосходит $\frac{3}{7}$, их число не больше

Число мальчиков целое, поэтому их не может быть больше 8.

Проверим, что 8 мальчиков действительно возможно.

Например, пусть в кино сходили 19 человек: 8 мальчиков и 11 девочек. Тогда доля мальчиков среди посетивших кино

Проверяем условие:

так как

Оставшийся один учащийся — девочка — пусть посетит театр. Тогда в театре мальчиков вообще нет, поэтому условие для театра также выполнено.

Следовательно, 8 мальчиков возможны, а 9 — уже нет.

Ответ: б) 8 мальчиков.

в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки?

Как установлено выше, доля мальчиков во всей группе не может превышать

Поэтому доля девочек должна быть не меньше

Эта доля достижима. Например, пусть вся группа из 7 человек посетила кино, причём среди них 3 мальчика и 4 девочки. Тогда доля мальчиков равна ровно $\frac{3}{7}$, все условия выполнены, а доля девочек равна

Ответ: в) $\boxed{\frac{4}{7}}$.

Итог: