Число диагоналей многоугольника можно подсчитать так: найти число диагоналей, выходящих из одной вершины (их на 3 меньше, чем вершин); умножить это число на число вершин; разделить результат на 2 (объясните почему). Сколько диагоналей у семиугольника, десятиугольника, стоугольника?

Пусть у многоугольника $n$ вершин.

Из одной вершины можно провести диагонали ко всем вершинам, кроме:

• самой этой вершины;

• двух соседних вершин, так как отрезки к ним являются сторонами многоугольника, а не диагоналями.

Значит, из одной вершины выходит $n-3$ диагоналей.

Если умножить $n-3$ на число вершин $n$, то получится количество всех «выходов диагоналей из вершин». Но при таком подсчёте каждая диагональ учитывается два раза: например, диагональ, соединяющая вершины A и B, будет посчитана один раз из вершины A и один раз из вершины B. Поэтому результат нужно разделить на 2.

Получаем формулу:

Теперь считаем:

1. Семьугольник ($n=7$):

У семиугольника 14 диагоналей.

2. Десятиугольник ($n=10$):

У десятиугольника 35 диагоналей.

3. Стоугольник ($n=100$):

У стоугольника 4850 диагоналей.

Ответ:

• семиугольник — 14 диагоналей;

• десятиугольник — 35 диагоналей;

• стоугольник — 4850 диагоналей.