У нас есть 10 мешков с монетами. В каждом мешке лежит по 10 монет. Но в одном мешке лежат фальшивые монеты. Настоящая монета весит 10 граммов, а фальшивая — только 9. Также есть весы со шкалой в граммах. Весы могут взвешивать не более 700 грамм. Мы можем использовать весы только один раз! Как найти мешок с фальшивыми монетами?

Чтобы найти мешок с фальшивыми монетами, достаточно всего одного взвешивания. При этом ограничение весов в 700 граммов нам совершенно не помешает.

Главная хитрость заключается в том, что из каждого мешка нужно взять разное количество монет.

Шаг 1. Пронумеруем все 10 мешков числами от 1 до 10.

Шаг 2. Возьмём из каждого мешка следующее количество монет:

• Из первого мешка — 1 монету.

• Из второго — 2 монеты.

• Из третьего — 3 монеты.

• Из четвёртого — 4 монеты.

• Из пятого — 5 монет.

• Из шестого — 6 монет.

• Из седьмого — 7 монет.

• Из восьмого — 8 монет.

• Из девятого — 9 монет.

• Из десятого — 10 монет.

Таким образом, мы возьмём:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55 монет.

Шаг 3. Положим все 55 монет на весы одновременно.

Если бы все монеты были настоящими, их общий вес составил бы:

55 × 10 = 550 граммов.

Это меньше максимальной нагрузки весов в 700 граммов, поэтому ограничение соблюдено.

Но мы знаем, что один из мешков содержит фальшивые монеты, каждая из которых легче настоящей ровно на 1 грамм.

Следовательно, весы покажут меньше 550 граммов.

Шаг 4. Определим мешок по показаниям весов.

Всё очень просто: нужно из 550 вычесть вес, который покажут весы. Полученная разница и будет номером мешка с фальшивыми монетами.

Вот таблица возможных результатов:

Например: предположим, что весы показали 543 грамма.

Вычитаем:

550 − 543 = 7.

Значит, фальшивые монеты находятся в седьмом мешке.

Почему? Потому что из седьмого мешка мы взяли ровно 7 монет, и каждая из них весит на 1 грамм меньше настоящей. Поэтому общий вес оказался меньше ожидаемого ровно на 7 граммов.

Ответ: нумеруем мешки от 1 до 10, берём из каждого столько монет, каков его номер, и взвешиваем все 55 монет одновременно. Вычитаем показания весов из 550 граммов. Полученное число указывает номер мешка с фальшивыми монетами.

Таким образом, задача решается за одно взвешивание, а максимальный вес монет составляет всего 550 граммов, что укладывается в ограничение 700 граммов.