На рисунке изображён прямоугольник и линия X, параллельная основанию прямоугольника. На этой линии выбраны точки A и B. Сумма площадей закрашенных треугольников равна 10 см². Чему равна площадь прямоугольника?

Ответ: 20 см².

Подробное решение

По условию дан прямоугольник, внутри которого проведена горизонтальная прямая $X$, параллельная его основанию. На этой прямой находятся точки $A$ и $B$, являющиеся вершинами двух закрашенных треугольников.

Схематическое изображение прямоугольника и закрашенных треугольников

Шаг 1. Обозначим длину прямоугольника через $a$, а его высоту через $h$.

Прямая $X$ делит прямоугольник на две части, высоты которых равны $h_1$ и $h_2$.

Следовательно:

Шаг 2. Найдём площади закрашенных треугольников.

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

У верхнего закрашенного треугольника основанием служит верхняя сторона прямоугольника длиной $a$, а высота равна $h_1$.

Поэтому:

У нижнего закрашенного треугольника основание также равно $a$, а высота равна $h_2$.

Его площадь:

Шаг 3. Сложим площади двух треугольников:

Вынесем общий множитель:

Поскольку $h_1+h_2=h$, получаем:

Но произведение $ah$ — это площадь всего прямоугольника.

Таким образом, сумма площадей двух закрашенных треугольников всегда составляет половину площади прямоугольника, независимо от расположения точек $A$ и $B$.

Шаг 4. По условию сумма площадей закрашенных треугольников составляет 10 см².

Значит, площадь прямоугольника в два раза больше:

Ответ: 20 см².