Нарисован правильный шестиугольник и серединные точки на двух сторонах: G на DC и H на CB. С использованием свойств подходящего движения обоснуй, что S(FEO)=S(OGCH)

Пусть $ABCDEF$ — правильный шестиугольник с центром $O$, а $G$ и $H$ — середины сторон $DC$ и $CB$ соответственно.

Доказательство с помощью поворотов.

1. Проведём диагональ $OC$. Она разделит четырёхугольник $OGCH$ на два треугольника $OGC$ и $OCH$. Поэтому

2. Обозначим через $M$ середину стороны $EF$. Проведём отрезок $OM$. Тогда треугольник $FEO$ разделится на два треугольника $FOM$ и $EOM$, следовательно,

3. Выполним поворот вокруг точки $O$ на $120^\circ$ в направлении, при котором точка $C$ переходит в $E$. При этом точка $D$ перейдёт в $F$, а середина $G$ отрезка $DC$ перейдёт в середину $M$ отрезка $FE$. Таким образом, треугольник $OGC$ перейдёт в треугольник $OME$.

Поскольку поворот сохраняет площадь,

4. Теперь выполним поворот вокруг $O$ на $180^\circ$. Точка $C$ перейдёт в $F$, точка $B$ — в $E$, а середина $H$ отрезка $CB$ — в середину $M$ отрезка $FE$. Следовательно, треугольник $OCH$ перейдёт в треугольник $OFM$. Поэтому

Складывая полученные равенства, имеем:

Следовательно, $S(FEO)=S(OGCH)$, что и требовалось доказать.