В треугольнике ABC AB = BC. Из точки E на стороне AB опущен перпендикуляр на BC. Оказалось, что AE = ED. Найдите угол DAC.

Ответ: $\angle DAC=45^\circ$.

Решение.

Обозначим $\angle ABC=x$.

1. Так как $AB=BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Поэтому

2. По условию $ED\perp BC$, следовательно, $\angle BDE=90^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDE$. Поскольку $E$ лежит на $AB$, а $D$ — на $BC$, имеем $\angle EBD=x$. Тогда

Точки $A,E,B$ лежат на одной прямой, поэтому углы $AED$ и $BED$ в сумме составляют $180^\circ$. Значит,

3. По условию $AE=ED$, следовательно, треугольник $AED$ равнобедренный. Его углы при основании $AD$ равны:

Поскольку $E$ лежит на стороне $AB$, получаем

4. Теперь найдём искомый угол. Луч $AD$ лежит внутри угла $BAC$, поэтому

Ответ: $\boxed{45^\circ}$.