доказать методом мат индукции, что (4*6^n+5*n-4) делится на 25

Докажем методом математической индукции, что выражение

делится на 25 при любом натуральном $n$.

1. База индукции

Проверим утверждение при $n=1$:

Число 25 делится на 25, значит, база индукции верна.

2. Предположение индукции

Предположим, что утверждение верно при $n=k$, то есть

делится на 25.

Это означает, что существует целое число $m$, такое что

3. Индукционный переход

Докажем, что утверждение верно при $n=k+1$.

Подставим $n=k+1$ в исходное выражение:

Раскроем скобки и преобразуем степень:

Теперь выделим выражение из предположения индукции:

Вынесем 25 за скобки в последних двух слагаемых:

По предположению индукции:

Следовательно,

Так как $m$ и $k$ — целые числа, то $6m+1-k$ также является целым числом.

Значит, выражение при $n=k+1$ делится на 25.

4. Вывод

База индукции доказана, индукционный переход выполнен.

Следовательно, по принципу математической индукции

для любого натурального $n$.

Что и требовалось доказать.