Имеется много одинаковых квадратов. В вершинах каждого из них в произвольном порядке написаны числа 1, 2, 3 и 4. Квадраты сложили в стопку и написали сумму чисел, попавших в каждый из четырёх углов стопки. Может ли оказаться так, что: а) в каждом углу стопки сумма равна 2014? б) в каждом углу стопки сумма равна 2015?

Рассмотрим сумму чисел, написанных во всех четырёх вершинах одного квадрата.

В каждом квадрате записаны числа 1, 2, 3 и 4, поэтому сумма чисел в вершинах каждого квадрата равна:

Пусть в стопке находится $n$ квадратов. Тогда сумма чисел во всех четырёх углах стопки равна $10n$.

Если бы в каждом углу сумма была равна одному и тому же числу $S$, то общая сумма чисел во всех углах составляла бы $4S$. Следовательно,

Отсюда:

Поскольку $n$ — целое число, правая часть делится на 5. Значит, $2S$ должно делиться на 5.

а) Может ли сумма в каждом углу равняться 2014?

Проверим:

Число 4028 не делится на 5. Следовательно, такое невозможно.

б) Может ли сумма в каждом углу равняться 2015?

Проверим:

Это число делится на 5, поэтому необходимое условие выполняется. Но нужно ещё показать, что такая стопка действительно существует.

Возьмём 2015 квадратов и расположим числа в каждом из них следующим образом:

• в первом углу — 1;

• во втором углу — 2;

• в третьем углу — 3;

• в четвёртом углу — 4.

Однако при таком расположении суммы будут различаться. Поэтому воспользуемся другим способом: возьмём четыре квадрата и расположим числа так, чтобы в каждом углу стопки по одному разу встретились числа 1, 2, 3 и 4. Тогда сумма в каждом углу будет равна 10.

Такие группы из четырёх квадратов можно повторять. Поскольку

а для равных сумм необходимо чётное число квадратов, получаем противоречие: 2015 — нечётное число.

Таким образом, в пункте б) тоже невозможно.

Ответ:

а) Нет.

б) Нет.