1) Дан треугольник ABC, площадь которого равна 12. Из вершины В проведена медиана ВМ, равная 4. Найди длину стороны АВ, если известно, что АВ = ВС.
2) Треугольник АВС равнобедренный. Найди длину стороны АВ, если известно, что tgBCA = 0,75 и AC = 32.
3) Дан прямоугольник ABCD. На стороне ВС отметили точку N и провели из неё отрезки NA и ND. Найди ND, если известно, что треугольник BNA равнобедренный, АВ = 9, ВС = 21.

1. Найти длину стороны AB

Дано:

• Площадь треугольника ABC равна 12.

• BM — медиана, BM = 4.

• AB = BC.

• Найти AB.

Решение:

Так как AB = BC, треугольник ABC равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой.

Следовательно, BM — высота треугольника.

Используем формулу площади треугольника:

Подставим известные значения:

Поскольку BM — медиана, она делит основание AC пополам:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM. По теореме Пифагора:

Ответ: AB = 5.

2. Найти длину стороны AB

Дано:

• Треугольник ABC равнобедренный.

• $\operatorname{tg}\angle BCA=0{,}75$.

• AC = 32.

• Найти AB.

Решение:

В условии не указано, какие именно стороны равны. Предположим, что AB = BC, то есть AC — основание равнобедренного треугольника.

Проведём высоту из вершины B к основанию AC. В равнобедренном треугольнике высота делит основание пополам.

Получаем:

Обозначим высоту через BH.

По определению тангенса:

Подставим известные значения:

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCH. По теореме Пифагора:

Так как AB = BC, получаем:

Ответ: AB = 20 (если AB = BC).

3. Найти длину ND

Дано:

• ABCD — прямоугольник.

• N лежит на стороне BC.

• Треугольник BNA равнобедренный.

• AB = 9.

• BC = 21.

• Найти ND.

Решение:

Так как ABCD — прямоугольник, все его углы прямые.

Следовательно:

Значит, треугольник BNA прямоугольный, причём угол B равен 90°.

По условию треугольник BNA равнобедренный. Следовательно, его катеты равны:

Так как AB = 9, то:

Теперь найдём отрезок NC:

Рассмотрим прямоугольный треугольник NCD. Поскольку противоположные стороны прямоугольника равны:

По теореме Пифагора: