Клетчатый шестиугольник, составленный из двух полосок ширины 1, пересекающихся по одной клетке, назовём уголком. Докажите, что произвольный клетчатый квадрат без любой клетки можно разбить на клетчатые уголки с различным нечётным числом клеток. Сколько существует таких разбиений для квадрата 5×5 с вырезанной центральной клеткой?

Пусть сторона исходного квадрата равна \(N\), а вырезанная клетка называется дыркой. Выберем две соседние стороны квадрата, к которым дырка не примыкает. Клетки вдоль этих сторон образуют уголок: в каждой полоске по \(N\) клеток, но угловая клетка общая, поэтому всего клеток \(2N-1\).

После удаления этого уголка остаётся квадрат \((N-1)\times(N-1)\), причём дырка остаётся внутри него. Повторяем тот же шаг. Получаются уголки с числами клеток \(2N-1,\ 2N-3,\ldots,\ 3\). Все эти числа нечётные и попарно различны. В конце остаётся одна клетка — исходная дырка. Значит, требуемое разбиение существует.

Для квадрата \(5\times5\) с вырезанной центральной клеткой таких разбиений 36.

0 0 Пожаловаться