Найдите частное решение рекуррентного уравнения (далее в скобках нижний индекс) Y(i+2) = -2Y(i+1) - Y(i). Начальные условия: Y0 = 1, Y1 = 0.

Дано рекуррентное уравнение:

\[Y_{i+2}=-2Y_{i+1}-Y_i\]

Начальные условия:

\[Y_0=1,\quad Y_1=0\]

Перенесём всё в одну сторону:

\[Y_{i+2}+2Y_{i+1}+Y_i=0\]

Составим характеристическое уравнение:

\[r^2+2r+1=0\]

\[(r+1)^2=0\]

Корень один, но кратный:

\[r=-1\]

Общий вид решения:

\[Y_i=(C_1+C_2i)(-1)^i\]

Подставим \(Y_0=1\):

\[(C_1+C_2\cdot0)(-1)^0=C_1=1\]

Подставим \(Y_1=0\):

\[(1+C_2)(-1)=0\]

Значит:

\[1+C_2=0\]

\[C_2=-1\]

Частное решение:

\[Y_i=(1-i)(-1)^i\]

0 0 Пожаловаться