Какова мощность множества всех рациональных функций с целыми коэффициентами в числителе и знаменателе?

Мощность этого множества счётна.

Каждый многочлен с целыми коэффициентами задаётся конечным набором целых чисел. Множество всех таких наборов счётно, значит, и множество многочленов с целыми коэффициентами счётно.

Рациональная функция задаётся парой таких многочленов: числителем и ненулевым знаменателем. Множество всех пар элементов счётного множества тоже счётно.

Следовательно, множество всех рациональных функций с целыми коэффициентами имеет мощность \(\aleph_0\), то есть является счётным.

0 0 Пожаловаться