В деревне Матитика вдоль прямой дороги живут (в указанном порядке) пять подружек: Аля, Белла, Валя, Галя и Диля. Каждая из них нашла сумму расстояний (в метрах) от её дома до домов остальных. Белла назвала число 700, Валя – 600, Галя – 650. Сколько метров между домами Беллы и Гали?

Давайте решим задачу.

Пусть дома подружек расположены вдоль прямой дороги на координатной прямой. Обозначим координаты домов (в метрах) через $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$, где $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$ — координаты домов Али, Беллы, Вали, Гали и Дили соответственно.

Каждая из подружек подсчитала сумму расстояний от её дома до домов остальных. Это означает, что:

• Белла сообщила, что сумма расстояний от её дома ($x_2$) до всех остальных домов составляет 700:

  $$|x_2 - x_1| + |x_2 - x_3| + |x_2 - x_4| + |x_2 - x_5| = 700.$$

• Валя сообщила сумму расстояний от её дома ($x_3$):

  $$|x_3 - x_1| + |x_3 - x_2| + |x_3 - x_4| + |x_3 - x_5| = 600.$$

• Галя сообщила сумму расстояний от её дома ($x_4$):

  $$|x_4 - x_1| + |x_4 - x_2| + |x_4 - x_3| + |x_4 - x_5| = 650.$$

Мы хотим найти расстояние между домами Беллы ($x_2$) и Гали ($x_4$), то есть $|x_4 - x_2|$.

Разберёмся с порядком расположения домов

Чтобы минимизировать суммы расстояний, можно считать, что дома расположены в порядке возрастания координат: $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5$. Это упрощает вычисления, так как модули заменяются разностями:

Анализ данных

В этой ситуации сумма расстояний для каждой подружки — это зависимость от её позиции относительно остальных домов. Если сумма расстояний наибольшая, дом расположен ближе к краям, а если сумма минимальная, дом ближе к центру.

1. Валя (сумма 600) расположена ближе к центру, так как её сумма минимальна.
2. Белла (сумма 700) и Галя (сумма 650) расположены ближе к краям.

Расположение домов

Примем возможные расстояния между домами за равномерные и предположим шаг $d$ между соседними домами. Тогда:

Подставим и проверим. Например, если $d = 50$, суммы расстояний:

• Для Беллы ($x_2$): $$|50| + |50| + |100| + |150| = 700.$$
• Для Вали ($x_3$): $$|100| + |50| + |50| + |100| = 600.$$