Решения неравенства (x-3)² > 9 - x²

Чтобы решить неравенство $(x-3)^2 > 9 - x^2$, давайте разобьем его на шаги:

1. Раскроем скобки

Начнем с того, что раскроем квадрат в левой части неравенства:

Таким образом, неравенство превращается в:

2. Переносим все слагаемые на одну сторону

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону, чтобы привести неравенство к стандартному виду. Для этого добавим $x^2$ к обеим частям:

Упростим:

Теперь вычитаем 9 из обеих частей:

3. Вынесем общий множитель

Теперь вынесем общий множитель 2:

Для удобства можно разделить обе части неравенства на 2 (это не изменит знак неравенства):

4. Решение квадратного неравенства

Теперь решим квадратное неравенство $x^2 - 3x > 0$. Для этого сначала решим соответствующее квадратное уравнение:

Вынесем общий множитель:

Таким образом, корни уравнения — $x = 0$ и $x = 3$.

5. Анализ знаков

Теперь нужно определить, на каких интервалах выражение $x^2 - 3x$ больше нуля. Для этого рассмотрим интервалы, определяемые корнями $x = 0$ и $x = 3$: $(-∞, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, +∞)$.

• Для $x \in (-∞, 0)$: подставим любое значение, например $x = -1$:

Значит, на интервале $(-∞, 0)$ выражение положительное.

• Для $x \in (0, 3)$: подставим $x = 1$:

Значит, на интервале $(0, 3)$ выражение отрицательное.

• Для $x \in (3, +∞)$: подставим $x = 4$:

Значит, на интервале $(3, +∞)$ выражение положительное.

6. Ответ

Таким образом, неравенство $x^2 - 3x > 0$ выполняется на интервалах $(-∞, 0)$ и $(3, +∞)$.

Ответ: $x \in (-∞, 0) \cup (3, +∞)$.