По какой формуле изменяется скорость парашютиста?

Как на это обычно отвечают на физ-форуме:

Короткий ответ.
Скорость парашютиста определяется уравнением Ньютона с силой тяжести и сопротивлением воздуха. В самых популярных моделях получаются такие законы:

1. Без сопротивления (чистая учебная классика):
   $v(t)=v_0 - g\,t$ (ось $+y$ вверх) или $v(t)=v_0+g\,t$ (ось вниз).

2. Линейное сопротивление $F_d=bv$:

где $\tau=\frac{m}{b}$ — характерное время, $\displaystyle v_T=\frac{mg}{b}$ — установившаяся (предельная) скорость.

3. Квадратичное сопротивление $F_d=k v|v|$ (ближе к реальности при больших скоростях):

а при старте из покоя $v_0=0$:

Здесь $\displaystyle v_T=\sqrt{\frac{mg}{k}}$ — предельная скорость.

Что означают параметры

• $m$ — масса парашютиста с снаряжением;

• $g$ — ускорение свободного падения;

• $b$ — коэффициент линейного сопротивления (модель для малых $v$);

• $k=\tfrac12 \rho C_d A$ — «квадратичный» коэффициент: плотность воздуха $\rho$, лобовое сопротивление $C_d$, эффективная площадь $A$;

• $v_T$ — предельная скорость, к которой решение асимптотически стремится.

Как учесть раскрытие парашюта

На практике движение кусково-непрерывное: до раскрытия — маленькая площадь $A$ (большой $v_T$), после — $A$ резко возрастает (малый $v_T$). Тогда решение записывают по частям.

Например, при квадратичном сопротивлении и $v(0)=0$:

• До открытия (0 ≤ t < $t_{\text{open}}$), с коэффициентом $k_1$ и $\displaystyle v_{T1}=\sqrt{\frac{mg}{k_1}}$:

  $$v_1(t)=v_{T1}\,\tanh\!\left(\frac{g\,t}{v_{T1}}\right).$$