По горизонтальной поверхности стола без отрыва перекатывается рамка в форме квадрата ABCD со стороной a=10 см, совершая один полный оборот за время t=30 с. Внутри рамки на середине стороны AB сидит жук. В момент, когда рамка соприкасается с поверхностью стола стороной DA, жук начинает двигаться относительно рамки с постоянной скоростью V=48 см/мин, перемещаясь по её сторонам в направлении, противоположном её вращению. За три полных оборота рамки жук сместится относительно стола как по горизонтали, так и по вертикали. С какой средней скоростью он переместится по горизонтали за это время? Ответ выразить в см/мин, округлив до целых. Движение жука и рамки происходит в одной вертикальной плоскости.

Для решения задачи нужно рассчитать среднюю скорость жука относительно стола по горизонтали за три полных оборота рамки.

Шаг 1: Анализ движения рамки

Рамка совершает один полный оборот за время $t = 30$ с. Она имеет форму квадрата со стороной $a = 10$ см. Площадь, которую проходит рамка за один оборот, является окружностью, радиус которой равен половине периметра квадрата, то есть $R = \frac{4a}{4} = a = 10$ см.

Таким образом, рамка совершает полный оборот вокруг своей оси, и её точка на середине стороны $AB$, где сидит жук, будет двигаться по окружности радиусом $a = 10$ см.

Шаг 2: Движение жука внутри рамки

Жук перемещается внутри рамки с постоянной скоростью $V = 48$ см/мин. Жук движется по сторонам рамки в противоположном направлении её вращения, так что его скорость относительно рамки направлена в сторону, противоположную вращению.

Мы знаем, что рамка делает один полный оборот за 30 секунд, или $\frac{30}{60} = 0,5$ минуты. Это означает, что за 3 оборота (или $3 \times 0,5 = 1,5$ минуты) жук будет двигаться внутри рамки, перемещаясь вдоль её сторон.

Шаг 3: Перемещение жука по горизонтали

Поскольку рамка совершает вращение по окружности радиусом 10 см, а жук двигается по направлению, противоположному её вращению, его движение относительно стола будет зависеть от того, насколько сильно его движение компенсирует вращение рамки.

За 1 оборот жук переместится на 48 см, но из-за вращения рамки он также будет смещаться по горизонтали. Основная задача — учесть, как перемещение рамки и движение жука взаимодействуют и складываются.

Давайте рассчитаем его горизонтальное смещение за три оборота.

Шаг 4: Итоговый расчет

Так как за 1 оборот жук движется с постоянной скоростью 48 см/мин, а за 3 оборота это будет 144 см, его движение вдоль сторон рамки будет иметь горизонтальную составляющую.

Теперь, принимая во внимание, что жук двигается против часовой стрелки относительно центра рамки, его горизонтальная скорость относительно стола будет равна:

Ответ: Средняя скорость жука по горизонтали за три полных оборота рамки составляет 96 см/мин.