Точка прошла половину пути со скоростью 10 км/ч. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью 18 км/ч, а последний участок — со скоростью 25,2 км/ч. Найти среднюю скорость движения точки.

Для нахождения средней скорости, нужно сначала понять, что средняя скорость для всего пути — это общий путь, делённый на общее время.

Обозначим полный путь как $S$.

1. Первая часть пути:
   Точка прошла половину пути со скоростью 10 км/ч. То есть, первый участок пути составил $S/2$.
   Время, затраченное на эту часть пути, будет равно:

   $$t_1 = \frac{S/2}{10} = \frac{S}{20}$$

2. Вторая часть пути:
   На оставшуюся часть пути точка потратила время $t_2$. Сначала она двигалась со скоростью 18 км/ч, то есть на первой половине оставшегося пути $S/4$, время составило:

   $$t_2 = \frac{S/4}{18} = \frac{S}{72}$$

3. Третья часть пути:
   На последнюю четверть пути, $S/4$, точка двигалась со скоростью 25,2 км/ч. Время на этот участок пути:

   $$t_3 = \frac{S/4}{25,2} = \frac{S}{100,8}$$

Теперь вычислим общее время, затраченное на весь путь:

Для удобства сложим эти дроби. Приведём их к общему знаменателю, которым будет 100,8:

Таким образом, общее время для всего пути равно $\frac{7S}{100,8}$.

Средняя скорость $V_{\text{ср}}$ определяется как общий путь, делённый на общее время:

Теперь вычислим значение:

Ответ: средняя скорость движения точки равна 14,4 км/ч.